Do jucer se zbilja nikada nisam posebno zanimala za fraktale, niti sam ih pokusala razumjeti. No, stvar se drasticno promjenila od kada sam pogledala dokumentarac Fractals: The Colors of Infinity (kojeg mozete pogledati onlajn)
Sada razumijem sve one moje prijatelje koji svrsavaju nad slikama fraktala. Vjerujem da ste ih svi gledali po cijelom internetu, no sada za mene te slike takoder imaju novu dimenziju i sada mi se neki zbilja jako jako svidaju, bacit cu dole par dragih na koje naletila.
Nisam se upustala u izradu fraktala (za sada) no tko zna, mozda i pokusam iz znatizelje. Mozda je netko od vas takoder zaluden fraktalima, ili ga jednostavno zanima, pa slobodno podjelite sa nama, sto god imate
mene sada odusevljava hodanje po prirodi i gledanje stvari kroz oci fraktala, i zbilja je luda sama ta pomisao da smo svi i da su sve fraktali.
Zasto to kazem? procitajte o fraktalima u teoriji i dobijte dojam o cemu pricam ako do sada niste nikada o tome citali. i svakako pogledajte dokumentarac!
Što su fraktali?
Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije. Drugim riječima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi, i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka.
Oni su (barem približno) samoslični (sastoje se od umanjenih verzija samih sebe), ali isuviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom. Tako npr. dužina nije fraktal, iako je samoslična (sastoji se od beskonačno mnogo dužinâ, a sve su dužine slične). Laički rečeno, oni su "načičkani" do u beskonačnost.
Što je toliko zanimljivo u fraktalima
Govoreći o fraktalima odmah na početku potrebno je istaknuti njihove lijepe i kompleksne strukture.
Ukoliko se malo bolje osvrnete začudit ćete se da su fraktali svuda oko vas. Naime klasično, euklidsko gledanje na geometriju i svijet preko kruga, trokuta i kvadrata je stvar prošlosti jer nailazi nova era fraktalne geometrije. Kako smo rekli ova geometrija se nalazi u gotovo čitavom svemiru te je osnovna karakteristika formiranja žive i nežive tvari:
- biljke
- meterologija (oblaci, zračni vrtlozi)
- strujanje fluida
- geološka aktivnost (riječna korita, planine, morska obala, tektonski rasjedi)
- orbit planeta
- ritmika ljudskog organizma
- ponašanje životinjskih zajednica (jata ptica, mravi, pčele itd.)
- socioekonomski uzorci
- glazba i likovna umjetnost
- arhitektura
- internet
Temeljna odrednica fraktala je samosličnost. Moglo bi se reći da se sastoji iz kopija samog sebe u različitim mjerilima. Kako gore tako i dolje - kako je rekao Hermes. On je neravan ili izlomljen geometrijski oblik kojeg je moguće podijeliti na još sitnije dijelove, od kojih je svaki (barem približno) smanjena kopija cjeline. Fraktal, pri povećavanju svakog uzorka, otkriva veću složenost.
A matematička definicija glasi: Fraktal je skup točaka čija je fraktalna dimenzija veća od topološke dimenzije. Još preciznije: fraktal je entitet koji ima ne-cjelobrojnu - fraktalnu - dimenziju (malo zbunjujuće, ali netko će to već razumijeti).
Vrste fraktala
Prema načinu nastajanja fraktali mogu biti:
1. Iterativni fraktali (Kochova krivulja) posjeduju najveći stupanj samosličnosti tzv. potpunu samosličnost. Bez obzira na to koji dio smo uvećali uvijek ćemo dobiti sliku koja je identična početnoj.
Kochova krivulja i Kochova pahuljica su jedne od prvih opisanih fraktalnih krivulja. Predstavio ju je švedski matematičar Niels Fabian Helge von Koch 1904. godine. To je jedan od najpoznatijih fraktala koji se često koristi kao reprezentativni primjer. Razlika između krivulje i pahuljice je u tome što se kod krivulje počinje s dužinom, a kod pahuljice s jednakostraničnim trokutom.
Kochova krovulja
Na ovoj slici možete vidjeti kako nastaje Kochova krivulja ili krivulja snježne pahuljice. Uzmete ravnu crtu zadane duljine. Podijelite dužinu na tri dijela, pa srednji dio zamijenite dvjema jednakim dužinama, koje će jedna s drugom zatvarati kut od 600. Isti postupak ponovite još jednom, pa još jednom, i tako dalje, u nedogled.
2. Rekurzivni fraktali (Mandelbrotov skup) su fraktali koje dobivamo iz rekurzivnih relacija. Oni posjeduju svojstvo kvazisamosličnosti, što znači da je fraktal približno ali ne potpuno jednak na različitim razinama.
Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.
Mandelbrotov skup
3. Slučajni (random) fraktali (cvjetača) posjeduju najmanji stupanj samosličnosti tzv. statističku samosličnost. Nalazimo ih svugdje u prirodi.
Ritam u prirodi i fraktali
Mnogi fraktalni oblici mogu se stvarati ponavljanim postupcima na kompleksnoj ravnini, ali samo je jedan Mandelbrotov skup. Počeo se pojavljivati kad je Mandelbrot pokušao pronaći način uopćavanja u svezi s razredom oblika poznatih kao Julijin skup- "neki Julijini skupovi su poput krugova pričvršćenih i deformiranih na mnogim mjestima kako bi im se dala fraktalna struktura. drugi su razbijeni na zasebna područja, a treći su nepovezane mrvice. Ali ni riječi ni koncepti euklidske geometrije ne mogu ih opisati."
Francuski matematičar Douady je za Julijine skupove rekao: "neki su poput debelih oblaka, a drugi poput mršavog grma borovnica, neki izgledaju kao iskre koje plove zrakom nakon vatrometa: jedan ima oblik zeca, a mnogi imaju repove morskih konjica."
Mandelbrotov skup je zbirka točaka. Svaka točka na kompleksnoj ravnini, tj. svaki kompleksni broj, ili je u skupu ili izvan njega. Jedan od načina određenja skupa jest ispitivanje svake točke. "Kako bismo ispitali točku, uzet ćemo kompleksni broj, kvadriramo ga, dodamo prvobitni broj, kvadriramo rezultat- i tako dalje. Ako zbroj ode u beskonačno, onda točka nije u Mandelbrotovom skupu. Ako broj ostane konačan, onda jest."
Što je oblik fraktalniji, jednostavnija su njemu odgovarajuća pravila. Za Kochinu pahuljicu i Sierpinskijevu brtvu trebalo je ukloniti dijelove crta i zamijeniti ih određenim likovima.
Upotrijebivši umjesto toga igru kaosa, Michael Barnsey je izradio slike koje su započinjale kao zamagljene karikature i postajale sve jasnije. Nije bio potreban postupak ispravljanja: samo jedan skup pravila koji utjelovljuje konačni oblik.
Barnsey i njegovi suradnici krenuli su u program stvaranja slika. Ključno pitanje je bilo kako uz određeni lik odabrati skup pravila. Odgovor koji je on nazvao "teoremom kolaža" bio je tako silno jednostavno opisati da su mnogi smatrali da je riječ o triku.
Počinje se s crtanjem lika koji želimo reproducirati. Barnsey je za jedan od svojih prvih pokusa upotrijebio paprat. Zatim se koristeći računalni termin i miša za bilježenje točaka, preko izvornog lika dodaju njegove reducirane kopije koje se mogu i neuredno preklapati. Vrlo fraktalan lik može se lako oblikovati naslagama slojeva vlastitih kopija, manje frkatalan manje lako, ali svaki se lik može oblikovati slaganjem slojeva. Ako je slika složena, i pravila će biti složena. S druge strane, ako objekt ima fraktalni red u sebi, a znanstveno opažanje je da priroda često ima taj skriveni red, tad će ga biti moguće dekodirati sa svega nekoliko pravila. Model je tada zanimljiviji nego model izrađen prema euklidskoj geometriji jer znamo da kad gledamo rub lista biljke ne vidimo ravne crte.
Barnsley je tvrdio da priroda igra vlastitu inačicu kaosa. U sporu iz koje izrasta paprat može se smjestiti ograničena količina informacija. Dakle, postoji ograničenje razrađenosti do koje može izrasti paprat.
Nije čudno što možemo pronaći odgovarajuću sažetu informaciju kojom ćemo opisati tu paprat. Neki, s tim u skladu, smatraju da ćemo, jednog dana kada shvatimo kako je mozak organiziran, ostati začuđeni u postojanje sheme izgradnje mozga koja je zapravo vrlo jednostavna.
Zaključili bismo dakle da geometrija koju i dan danas uzimamo kao polazišnu ne daje prave odgovore kada je riječ o prirodi, njezinim oblicima i ritmu.
Čak i geometrijsku pravilnost koju su prepoznavali i arhitekti u svojim četvrtastim građevinama, zamijenili su novi pogledi. "Jednostavni oblici su nečovječni. Ne uspijevaju biti u skladu s načinom na koji se priroda sama organizira ili s načinom ljudskog viđenja svijeta."
Spoznaja ljudskog oka i misli ne staje na granicama "prihvaćenih" znanosti i stoga, dopustimo našem istraživačkom duhu da promatra prirodu i jedinstvenost njezina ritma i harmonije kroz nove spoznaje.
Možda bismo mogli završiti citatom autora knjige Kaos- rađanje nove znanosti, Jamesa Gleicka:
"Naš osjećaj lijepog je potaknut harmoničnim skladom reda i nereda svojstvenim prirodnim predmetima- oblacima, drveću, planinskim lancima ili kristalima snijega. Svi ti oblici su dinamički procesi pretopljeni u fizičke oblike, a posebne kombinacije reda i nereda tipične su za njih".
Malo sam izguglala i zbilja ih se nade predivnih!
